$y =\frac{2x+5}{x-3}$ ফাংশনটির ডোমেন (Domain) কত?

একটি ফাংশনের ডোমেন (Domain) হলো সেই সকল ইনপুট মানের সেট, যার জন্য ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত (defined) হয়। অর্থাৎ, ইনপুট হিসেবে আমরা x-এর যে মানগুলো ব্যবহার করতে পারি, যাতে y-এর একটি বাস্তব আউটপুট পাওয়া যায়, তাদের সেটই হলো ডোমেন।

প্রদত্ত ফাংশনটি হলো: \(y = \frac{2x+5}{x-3}\)

এটি একটি মূলদ ফাংশন (Rational Function)। মূলদ ফাংশনের ক্ষেত্রে, ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত (undefined) হয় যখন এর হর (denominator) শূন্য হয়। কারণ শূন্য দ্বারা ভাগ করা অসংজ্ঞায়িত।

এই ফাংশনটির হর হলো \((x-3)\)।

সুতরাং, ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য হর শূন্য হতে পারবে না।

অতএব, \(x-3 \neq 0\)

উভয় পাশে \(3\) যোগ করে পাই:

\(x \neq 3\)

এর অর্থ হলো, \(x\) এর মান \(3\) ব্যতীত যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে। বাস্তব সংখ্যাকে \(\mathbb{R}\) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

সুতরাং, ফাংশনটির ডোমেন হলো সকল বাস্তব সংখ্যা, \(\mathbb{R}\), থেকে \(3\) বাদ দিয়ে।

গাণিতিক সেট আকারে এটি লেখা হয়: \(\mathbb{R} - \{3\}\)

এই কারণে, বিকল্প 2 সঠিক।

অন্যান্য বিকল্পগুলো ভুল কারণ:

• বিকল্প 1, \(\mathbb{R} - \{\frac{5}{2}\}\), সঠিক নয়। এই মানটি ফাংশনের লব \((2x+5)\) শূন্য করলে পাওয়া যায়, যা ফাংশনের ডোমেনকে প্রভাবিত করে না, বরং ফাংশনের শূন্য (zero) বা x-intercept নির্দেশ করে।
• বিকল্প 3, \(\mathbb{R}\), সঠিক নয়। কারণ \(x=3\) হলে ফাংশনটি অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়, তাই সকল বাস্তব সংখ্যা ডোমেন হতে পারে না।
• বিকল্প 4, \(\mathbb{R} - \{-5\}\), সঠিক নয়। \(-5\) দ্বারা ফাংশনের সংজ্ঞায়িত হওয়ার উপর কোনো বিধিনিষেধ আসে না।